Одной из отличных задач-головоломок является 8 ферзей на шахматной доске . Эта игра была придумана еще в 1848 году известным шахматистом Базелем Максимом. Если вы хотите заняться саморазвитием и планируете начать с шахмат, то эта задача станет отличным стартом.

Смысл заключается в том, чтобы разместить 8 фигур, а точнее ферзей, так, чтобы ни одна из них не находилась под боем. Стоит напомнить, что ферзь может ходить в любом направлении и на любое количество клеток.

Варианты решения задачи

На сегодняшний день существует 12 решений, однако если применять правила симметрии, то насчитывается целых 92 варианта. Первое решение этой головоломки было опубликовано уже через два года Францом Наке. После него еще большое количество ученых и любителей пытались найти свое собственное решение как поставить 8 ферзей на шахматной доске . Например, всемирно известный математик и физик Гаусс нашел 72 варианта размещения фигур на шахматной доске. Такое количество вариантов было обусловлено интересным подходом – ученый разворачивал доску поочередно на 90, потом на 180 и на 270 градусов. Таким образом, получая новые комбинации.

Расставить 8 ферзей на шахматной доске непросто, однако каждый сможет найти хотя бы одно верное решение практически сразу. Одним из наиболее известных решений является такое расположение фигур:h5, f1,d8,b4,g7,e3,c6,a2. Еще три варианта решения можно наблюдать, если развернуть шахматную доску, подобно решению Гаусса.

В ходе поиска решения этой головоломки вы сможете попрактиковаться в творческом мышлении, потренируете внимание и память, а также разовьете способность логического мышления. Эти навыки пригодятся и помогут в дальнейшем находить нетривиальные решения поставленных задач, не используя стандартные алгоритмы. Применение в поиске решения размышлений и характерных логических конструкций может стать вашей отличительной чертой именно благодаря решению таких головоломок.

Запустим поиск для доски с размерностью 4:

Solve(createEmptyBoard(4));

У меня возвращается вот такой массив:

Да, это решение. Попробуем поискать решение для доски с размерностью 2, функция должна вернуть false так как для этой доски нет решения:

Solve(createEmptyBoard(2)); // > false

Ага, программа работает как надо. А теперь давайте посмотрим на что способны наши железки и алгоритм. Соорудим небольшой тест производительности:

// Тест производительности, // @param {Natural} startSizeOfBoard Начальный размер доски // @param {Natural} endSizeOfBoard Конечный размер доски // @return {true} Тест закончился function benchmark(startSizeOfBoard, maxSizeOfBoard){ if(startSizeOfBoard>maxSizeOfBoard){ return true; }else{ console.log("Считаем для доски с размерностью:", startSizeOfBoard); var startTime = Date.now(); var solution = solve(createEmptyBoard(startSizeOfBoard)); var endTime = Date.now(); console.log("Решение:", solution.toString()); console.log("Затраченное время:", endTime - startTime, "миллисекунд"); return benchmark(startSizeOfBoard+1, maxSizeOfBoard); } }

В первый параметр этого теста надо передать интересующий начальный размер доски, во второй конечный размер доски. Тест поищет решение для досок размерность которых находится между переданным начальным размером и конечным. Начальный и конечный размер включены в этот интервал. Он так же посчитает время в миллисекундах, которое он затратил на этот поиск.

Вот мои результаты для досок от 1 до 9 на компьютере МакБук Эйр (1.8 гигагерц «Intel core i5», 4 гигабайта ОЗУ):

Benchmark(1,9);

Создавая такие тесты и строя графики на основе их данных мы можем узнать много интересного о задаче и алгоритме. Например, почему для поиска решения для доски с размерностью n=6 тратится 442 миллисекунды, а для доски с размерностью n=7 всего 5? Посмотрим на найденные решения:

Ага, решение доски с размерностью n=7 лежит прямо в первой ветке дерева, потому что ферзь стоит прямо в самой первой клетке. А вот с доской с размерность n=6 нам не повезло и алгоритму пришлось раскрывать больше ветвей дерева. Получается что с ростом размерности доски скорость поиска в нашем алгоритме не будет расти линейно, а что было бы если бы стояла задача найти все возможные решения? Подумайте над этим.

Так же в этих решениях содержится еще одна интересная закономерность: решение доски на 6 клеток как бы вложено в решение доски на 7 клеток. Иначе говоря если мы уберем первую строку и первый столбец из решения доски на 7 элементов мы получим решение для доски на 6 элементов. Забавно, я это заметил уже только когда делал визуализацию.

Заключение

Как мы видим по тестам производительности наш алгоритм не самый быстрый в мире и не позволяет получить ответ по щелчку пальцев. Но что у него не отнять так это то, что он отлично показывает силу деревьев и рекурсии.

С помощью деревьев мы организовали простую и эффективную структуру для хранения наших данных, а рекурсия помогла нам удобно организовать их обработку. Что мне нравится в этой парочке так это то, как одно очень красиво ложится на другое. Как будто это одно и тоже, просто представленное с другого ракурса.

А о методах ускорения поиска по деревьям поговорим в следующих статьях.

Рассмотрим такую любимую задачу на понимание алгоритмов, как «Задача о восьми ферзях». Классическое определение: «расставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один из них не бил другого». Ок, задачка очень популярная на разных собеседованиях, и Википедия нам сразу дает решение на моем любимом Python"е .

И это наверняка правильное решение с точки зрения обычного человека, но абсолютно бессмысленное с точки зрения хакера, и вот я вам расскажу почему:

Проанализируем алгоритм: используется классический поиск с возвратом, мы представляем область решений в виде графа, каждая вершина которого - это такое положение ферзя, в котором он не находится под боем, и не бьет уже расставленных на доске ферзей, т.е. нам надо только собрать все «ветки» состоящей ровно из восьми вершин. В качестве метода поиска этих «веток» автор нам предлагает классический алгоритм поиска в ширину, т.е. порядок обхода графа будет выглядеть так:

И как только алгоритм отработает мы получим все возможные решения.

Так в чем же проблема? В нашем случае, для доски 8х8, мы получим 92 различные решения, а представим, что, как это часто бывает в реальных задачах, мы не знаем размера доски. Если доска будет 25x25, как в тай сёги , тогда количество решений уже будет 275,986,683,743,434.

Таблица, зависимость количества решений от размера доски:

Что это будет значить для нашего скрипта? А то, что он уйдет в очень долгий поиск, и так-как все решения ему придется держать в уме, то уже через 15 мин Python будет съедать 300 мегабайтов памяти. Кто обладает мощным процессором и большим объемом оперативной памяти может проверить, завершиться ли этот процесс вообще...

А все, что нам требовалось при решении подобной задачи - подобрать правильный алгоритм обхода графа, которым в нашем случае оказался бы обычный поиск в глубину, тогда обход графа происходил бы в таком порядке:

А код был бы на много проще, и даже бы через 15 мин скрипт съедал бы ровно столько же памяти, как и через секунду после запуска. И вот бы как его реализация выглядела бы на Python"е:

Def rc_queens(n_col, width, sol): if len(sol) == width: print sol else: for n_row in range(width): if (safe_queen(n_row, n_col, sol)): rc_queens(n_col+1, width, sol+) def safe_queen(new_row, new_col, sol): for col in range(len(sol)): if (sol == new_row or abs(col - new_col) == abs(sol - new_row)): return 0 return 1 if __name__ == "__main__": for n in range(8): rc_queens(1, 8, [n])
P.S. Это всего лишь взгляд на проблему со стороны хакера, может кто-то предложит взгляд со стороны «theoretical computer science»?

Пару месяцев назад появилась с анализом классической задачи о расстановке ферзей на шахматной доске (см. детали и историю ниже). Задача невероятно известная и вся уже рассмотрена под микроскопом, поэтому было удивительно, что появилось что-то действительно новое.

(здесь максимальное число ферзей, причем на месте крестика можно поставить белого, а на месте точке черного - но не обоих сразу; взято из статьи)

Модели и сложность задач

Пришло время собственно обсудить: а как это вообще все решать и насколько быстро это вообще можно сделать?

Линейный поиск для классической задачи

Самый интересный момент, что даже специалисты иногда путаются и думают, что для решения N-ферзей нужен комбинаторный поиск и думают, что сложность задачи выше P. Про то, что такое P и NP, когда-то уже писал на Хабре: и . Однако, задача решается без перебора вариантов! Т.е., для доски любого размера можно всегда расставить ферзей один за одним лесенкой:

Отсюда вывод, для N = 1 и N > 3 решение всегда есть (см. алго), а для N = 2 или N = 3
всегда нет (тривиально следует из доски). Это значит, что задача разрешимости для N ферзей (где нужно сказать есть решение или нет) решается тривиально за константное время (ну ок, конструктивно за линейное - расставить/проверить).

Самое время перепроверить прочитанное, читаем типичный заголовок "задачу о N ферзях признали NP-полной задачей" - у вас замироточили глаза?

Как считать число решений на практике

Вот тут начинается самое интересное: у количества решений задачи о расстановке ферзей даже есть своё имя - "последовательность A000170 ". На этом хорошие новости заканчиваются. Сложность задачи: выше NP и P#, на практике это означает, что оптимальное решение - это скачать данные последовательности в словарь и возвращать нужное число. Так как для N=27 оно уже считалось на параллельном кластере сколько там недель.

Решение : выписываем табличку и по n, возвращаем а(n)
n a(n)
1: 1
2: 0
3: 0
4: 2
5: 10
6: 4
7: 40
8: 92
9: 352
10: 724
…
21: 314666222712
22: 2691008701644
23: 24233937684440
24: 227514171973736
25: 2207893435808352
26 22317699616364044
27: 234907967154122528

Однако, если у вас какая-то хитрая разновидность задачи и все-таки нужно посчитать решения (а их количество неизвестно и раньше их никто не посчитал), то лучший вариант прототипа обсуждается чуть ниже.

Дополнение до N и Answer Set Programming

Тут начинается самое интересное: в чём же состоит новый результат статьи? Задача о дополнении до N ферзей - NP-полна ! (Интересно, что про NP-полноту дополнения латинского квадрата было известно ещё в 1984-ом году.)

Что это означает на практике? Самый простой способ решишь эту задачу (или вдруг, если нам нужно её вариацию) - использовать SAT. Однако, мне больше нравится следующая аналогия:

SAT - это ассемблер для комбинаторных NP-задач, а Answer Set Programming (ASP) - это С++ (у ASP тоже загадочная русская душа: он временами запутан и непредсказуем для непосвященных; кстати, теория, лежащая в основе современного ASP , была придумана в 1988ом году Михаилом Гельфондом и Владимиром Лифшицем, работавших тогда в университетах Техаса и Стэнфорда соответственно).

Если говорить упрощенно: ASP - это декларативный язык программирования ограничений (constraints в англоязычной литературе) с синтаксисом Prolog. То есть мы записываем, каким ограничениям должно удовлетворять решение, а система сводит всё к варианту SAT и находит нам решение.

Детали решения здесь не столь важны, и Answer Set Programming достоин отдельного поста (который лежит у меня в черновике уже неприлично долго): поэтому разберем концептуальные моменты

% domain row(1..n). column(1..n). % alldifferent 1 { queen(X,Y) : column(Y) } 1:- row(X). 1 { queen(X,Y) : row(X) } 1:- column(Y). % remove conflicting answers:- queen(X1,Y1), queen(X2,Y2), X1 < X2, Y1 == Y2. :- queen(X1,Y1), queen(X2,Y2), X1 < X2, Y1 + X1 == Y2 + X2. :- queen(X1,Y1), queen(X2,Y2), X1 < X2, Y1 - X1 == Y2 - X2.

Строка 1 { queen(X,Y) : column(Y) } 1:- row(X). - называется choice rule, и она определяет, что является допустимым пространством поиска.

Последние три строки называются integrity constraints: и они определяют каким ограничениям должно удовлетворять решение: не может быть ферзя в одном и том же ряду, не может быть ферзя в одной и той же колонке (опущено, в силу симметрии) и не может быть ферзя на одной и той же диагонали.

В качестве системы для экспериментов рекомендую Clingo .
И для начала стоит посмотреть их tutorial и попочитать блог на www.hakank.org .

Безусловно, если впервые писать на ASP, то первая модель не выйдет невероятно эффективной и быстрой, но скорее всего будет быстрее перебора с возвратом, написанным на скорую руку. Однако, если понять основные принципы работы системы, ASP может стать "regexp для NP-полных задач".

Проведем простой численный эксперимент с нашей ASP моделью. Я добавил 5 коварных ферзей в модель и запустил поиск решения для N от 1 до 150 и вот, что вышло (запущено на обычном домашнем ноутбуке):

Итого, наша ASP модель примерно в течении минуты может найти решения задачи о дополнении при N <= 150 (в обычном случае). Это показывает, что система отлично подходит для прототипирования моделей сложных комбинаторных задач.

Выводы

• Новый результат связан не с классической задачей о 8 ферзях, а дополнении обобщенной задачи о ферзях (что интересно, но в целом закономерно);
• Сложность существенно возрастает, так как, коварно поставив ферзей на доске, можно сбить алгоритм, ставящий ферзей по какой-то фиксированной закономерности;
• Эффективно посчитать число решений нельзя (ну совсем; пока не случится какой-то ужас и P не сравняется с NP итд);
• Возможно этот результат повлияет на работу современных SAT систем, так как некоторые эксперты считают, что эта задача в чем-то проще классических NP-полных задач (но это только мнение)
• Если вам вдруг зачем-то нужно решать подобную задачу - лучше всего воспользуйтесь системами аля Answer Set Programming, специально для этого предназначенных

Первый вариант головоломки 1850 года, когда два ферзя заранее установлены на доску, а игрок должен расставить остальных ферзей (два решения задачи см. под катом)

Задача о N ферзях состоит в том, чтобы разместить N ферзей на доске размером N×N таким образом, чтобы ни один ферзь не находился под боем другого, при этом на доске заранее установлены несколько ферзей. То есть в итоге никакие два ферзя не должны находиться на одной линии или диагонали. Впервые задачку сформулировали в 1848 году, а в 1850 году придумали вариант головоломки, когда некоторое количество ферзей заранее поставлено на доску, а игрок должен расставить остальных, если это возможно.

Исследователи из Сент-Эндрюсского университета (Шотландия) опубликовали , в которой доказывают, что задача о N ферзях является не только #P-полной задачей, но также NP-полной задачей. Более того, Математический институт Клэя (США) готов заплатить миллион долларов любому, кто сможет оптимизировать решение этой задачи как задачи на доказательство P=NP.

Как известно, в теории сложности #P является классом проблем, решением которых является количество успешных, то есть, завершающихся в допускающих состояниях, путей вычислений для некой недетерминированной машины Тьюринга, работающей полиномиальное время. Вычислительные задачи класса #P (counting problems) связаны с соответствующими задачами разрешимости (decision problems) класса NP.

Учёные отмечают, что эта задача может быть самой простой среди NP-полных задач, чтобы объяснить суть этих проблем любому человеку, который знает правила игры в шахматы. У этой задачи вообще очень интересная история. В своё время она привлекла внимание Гаусса, который даже сделал небольшую ошибку в её решении (на доске 8×8 он сообщил о 76 решениях, но потом сам признал четыре из них ошибочными, так что остались только 72, а позже Гаусс установил все 92 решения для доски 8×8).

Обобщение задачи для доски N×N привлекло внимание многих математиков. За последние полвека вышло несколько десятков научных работ, посвящённых этой проблеме. Как минимум шесть из них цитируются более 400 раз на Google Scholar: это Golomb & Baumert, 1965; Bitner & Reingold, 1975; Mackworth & Freuder, 1985; Minton, Johnston, Philips, & Laird, 1992; Selman, Levesque & Mitchell, 1992; Crawford, Ginsberg, Luks, & Roy, 1996.

Сложность задачи о N ферзях часто неправильно оценивают. Даже в обильно цитируемых работах её часто называют NP-сложной задачей (NP-hard), но она будет таковой только при условии, что P=NP. На самом деле вычислительный вариант задачи, то есть определение количества решений для N ферзей, представляет собой последовательность A000170 из Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Эта последовательность сейчас известна максимум для n=27, где количество решений превышает 2,34×10 17 . Не известно ни одно более эффективное решение проблемы, чем простой перебор. Так, для n=27 в 2016 году использовался масштабный параллельный поиск на FPGA.

В то же время, если компьютер начнёт перебор возможных положений ферзей на доске 1000×1000 клеток, то он загрузится этой задачей навечно. По мнению учёных, если некто найдёт действительно быстрый и эффективный способ решения, то сможет извлечь из этого гораздо бóльшую выгоду, чем один миллион долларов от Математического института Клэя. «Если вы напишете программу, которая может решить проблему действительно быстро, вы могли бы адаптировать её для решения многих важных задач, с которыми мы сталкиваемся ежедневно, - говорит профессор информатики Ян Гент (Ian Gent), один из авторов научной работы. - Среди них тривиальные проблемы, такие как поиск самой большой группы ваших друзей в Facebook, которые не знают друг друга, или очень важные задачи, например, взлом кодов, которые обеспечивают безопасность всех наших онлайн-транзакций».

Но это чисто теоретические измышления. На практике никто пока не приблизился к решению задачи о N ферзях быстрым и эффективным способом. За доказательство, что существует более эффективный способ решения задачи, чем простой перебор всех вариантов, дадут миллион долларов.